Updated at 2021.5.5

Simple Harmonic Motion

감쇠가 없는 스프링에 의한 힘 이외에 다른 힘을 받은 않는 1차원 진동을 생각해 보자. 단진동 또는 자유진동(Free Oscillation)이라고도 한다.

운동 방정식

스프링은 훅의 법칙에 의해 늘어난 길이의 반대 방향으로 늘어난 길이에 비례하여 작용하기 때문에 이 시스템의 운동 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}F = m\frac{d^2x}{dt^2} = -\kappa x\end{align}

여기서 \(m\) 은 스프링에 매달린 물체의 질량, \(\kappa\) 는 스프링 상수이다.

위 식은 아래와 같은 2차 미분 방정식으로 정리가 된다.

\begin{align}\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{\kappa}{m} x = 0\end{align}

위 수식의 일반해는 두번 미분한 것과 자신을 더해서 영이 될 수 있는 함수는 삼각함수이므로 아래와 같다.

\begin{align}x(t) = C_1 \sin(\kappa/m)^{1/2}t + C_2 \cos(\kappa/m)^{1/2}t\end{align}

초기 조건이 \(t = 0\) 일때 \(x=0\) 이고 진폭이 \(A\) 라고 하면,

\begin{align}x(t) = A\sin(\kappa/m)^{1/2}t\end{align}

위의 진동의 주파수를 \(\nu\), 각속도를 \(\omega\) 라고 하면 다음과 같은 중요한 관계식을 얻을 수 있다.

\begin{align}\red{\sqrt{\frac{\kappa}{m}} = 2\pi\nu = \omega}\end{align}

진동 에너지

운동 에너지는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align}\begin{split}E_k &= \frac{1}{2}mv^2 \\&= \frac{1}{2}m(A\omega \cos\omega t)^2 \\ &=\frac{1}{2}\kappa A^2 \cos^2 (\omega t) \end{split}\end{align}

위치 에너지는 스프링이 늘어나지 않는 상태, 즉 \(x=0\) 일 때의 위치를 기준으로 계산할 수 있다.

\begin{align}\begin{split}E_u &= \frac{1}{2}mx^2 \\&= \frac{1}{2}m(A\sin\omega t)^2 \\ &=\frac{1}{2}\kappa A^2 \sin^2 (\omega t) \end{split}\end{align}

따라서 총 에너지는 아래와 같이 간단히 나타난다. 진동 에너지는 스프링 상수 및 진폭의 제곱에 비례한다.

\begin{align}E = E_k + E_u = \red{\frac{1}{2}\kappa A^2}\end{align}

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